第 28 章：富范畴（Enriched Categories）
原文：Bartosz Milewski, Category Theory for Programmers, Scala Edition, Chapter 28. 原书 PDF、
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如果一个范畴的对象形成集合，它就是小范畴。但我们知道，有些东西比集合更大。著名的是，在标准集合论（Zermelo-Fraenkel 集合论，可选加上选择公理）中，无法形成所有集合的集合。因此，所有集合构成的范畴必须是大的。像 Grothendieck 宇宙这样的数学技巧，可以用来定义超越集合的收集。这些技巧让我们能够谈论大范畴。
如果任意两个对象之间的态射形成集合，一个范畴就是局部小的。如果它们不形成集合，我们就必须重新思考一些定义。特别是，如果我们甚至无法从一个集合中选出态射，组合态射是什么意思？解决办法是自举：用某个其他范畴 V 中的对象，替换作为 Set 中对象的 hom-set。区别在于，一般来说对象没有元素，因此我们不再允许谈论单个态射。我们必须用可以对整个 hom-object 执行的操作，来定义富范畴的所有性质。为了做到这一点，提供 hom-object 的范畴必须具有额外结构，它必须是一个幺半范畴。如果把这个幺半范畴称为 V，就可以谈论一个在 V 上富化的范畴 C。
除了大小方面的原因之外，我们可能也有兴趣把 hom-set 推广为比单纯集合更有结构的东西。例如，传统范畴没有对象之间距离的概念。两个对象要么由态射连接，要么没有。所有连接到某个给定对象的对象都是它的邻居。与现实生活不同，在范畴中，朋友的朋友的朋友和密友离我一样近。在合适的富范畴中，我们可以定义对象之间的距离。
还有一个很实际的理由，值得积累一点富范畴经验：一个非常有用的在线范畴论知识来源 nLab1，大多以富范畴的语言写成。
28.1 为什么是幺半范畴？（Why Monoidal Category?）
构造富范畴时，必须记住：当把幺半范畴替换为 Set、把 hom-object 替换为 hom-set 时，应该能够恢复普通定义。实现这一点的最好方式，是从普通定义开始，不断把它们改写为 point-free 的形式，也就是不命名集合元素。
先看组合的定义。通常，它接收一对态射，一个来自 C(b, c)，一个来自 C(a, b)，并把它们映射为来自 C(a, c) 的态射。换句话说，它是一个映射：
C(b, c) x C(a, b) -> C(a, c)
这是集合之间的函数，其中一个集合是两个 hom-set 的笛卡尔积。这个公式很容易推广：把笛卡尔积替换成更一般的东西。范畴积可以工作，但还可以走得更远，使用完全一般的张量积。
接下来是恒等态射。不再从 hom-set 中挑选单个元素，而是可以用来自单元素集合 1 的函数定义它们：
j_a :: 1 -> C(a, a)
同样，我们可以把单元素集合替换为终对象，但还可以走得更远，把它替换为张量积的单位对象 i。
如你所见，取自某个幺半范畴 V 的对象，是替代 hom-set 的好候选。
28.2 幺半范畴（Monoidal Category）
我们之前已经谈过幺半范畴，但这里值得重述定义。幺半范畴定义一个张量积，它是一个双函子：
tensor :: V x V -> V
我们希望张量积满足结合律，但只需要在自然同构意义下满足结合律。这个同构称为结合子。它的分量是：
alpha_abc :: (a tensor b) tensor c -> a tensor (b tensor c)
它必须在三个参数上都是自然的。
幺半范畴还必须定义一个特殊的单位对象 i，作为张量积的单位；同样，也是在自然同构意义下。两个同构分别称为左单位子和右单位子，其分量是：
lambda_a :: i tensor a -> a
rho_a :: a tensor i -> a
结合子和单位子必须满足相干条件。第一个是五边形恒等式，第二个是三角恒等式。它们保证所有不同的重新加括号方式，以及插入或移除单位对象的方式，都会给出相同的规范结果。
如果存在一个自然同构，其分量为：
gamma_ab :: a tensor b -> b tensor a
并且它的“平方为一”：
gamma_ba . gamma_ab = id_(a tensor b)
同时与幺半结构一致，那么这个幺半范畴称为对称的。
幺半范畴中一个有趣之处是，也许可以把内部 hom（函数对象）定义为张量积的右伴随。你可能还记得，函数对象或指数对象的标准定义，是通过范畴积的右伴随给出的。对任意对象 pair 都存在这种对象的范畴称为笛卡尔闭范畴。下面是在幺半范畴中定义内部 hom 的伴随：
V(a tensor b, c) ~ V(a, [b, c])
沿用 G. M. Kelly2 的记法，我用 [b, c] 表示内部 hom。这个伴随的余单位是一个自然变换，其分量称为求值态射：
epsilon_ab :: ([a, b] tensor a) -> b
注意，如果张量积不是对称的，可以用下面的伴随定义另一个内部 hom，记作 [[a, c]]：
V(a tensor b, c) ~ V(b, [[a, c]])
两个内部 hom 都定义了的幺半范畴称为双闭的（biclosed）。一个非双闭范畴的例子，是 Set 中自函子的范畴，其中函子组合作为张量积。这就是我们用来定义单子的范畴。
28.3 富范畴（Enriched Category）
在幺半范畴 V 上富化的范畴 C，用 hom-object 替换 hom-set。对于 C 中的每一对对象 a 和 b，都关联 V 中的一个对象 C(a, b)。我们对 hom-object 使用与 hom-set 相同的记法，只是要理解它们并不包含态射。另一方面，V 是普通的（非富化的）范畴，有 hom-set 和态射。所以我们并没有完全摆脱集合，只是把它们扫到了地毯下面。
由于不能谈论 C 中的单个态射，态射组合被替换为 V 中的一族态射：
compose :: C(b, c) tensor C(a, b) -> C(a, c)
类似地，恒等态射被替换为 V 中的一族态射：
j_a :: i -> C(a, a)
其中 i 是 V 中的张量单位。
组合的结合律用 V 中的结合子定义：
(C(c, d) tensor C(b, c)) tensor C(a, b)
-> C(b, d) tensor C(a, b)
-> C(a, d)
C(c, d) tensor (C(b, c) tensor C(a, b))
-> C(c, d) tensor C(a, c)
-> C(a, d)
单位律同样用单位子表达：
C(a, b) tensor i -> C(a, b) tensor C(a, a) -> C(a, b)
i tensor C(a, b) -> C(b, b) tensor C(a, b) -> C(a, b)
28.4 预序（Preorders）
预序定义为薄范畴，也就是每个 hom-set 要么为空，要么是单元素集合。我们把非空集合 C(a, b) 解释为 a 小于或等于 b 的证明。这样的范畴可以解释为在一个非常简单的幺半范畴上富化：该范畴只包含两个对象 0 和 1（有时称为 False 和 True）。除了必需的恒等态射之外，这个范畴还有一个从 0 到 1 的单个态射，称为 0 -> 1。可以在其中建立一个简单的幺半结构，张量积模拟 0 和 1 的简单算术（也就是说，唯一非零乘积是 1 tensor 1）。这个范畴中的单位对象是 1。这是严格幺半范畴，也就是说，结合子和单位子都是恒等态射。
由于在预序中 hom-set 要么为空、要么为单元素集合，可以很容易地用这个小范畴中的 hom-object 替换它。富化后的预序 C 对任意对象 pair a 和 b 都有一个 hom-object C(a, b)。如果 a 小于或等于 b，这个对象就是 1；否则就是 0。
来看看组合。任意两个对象的张量积都是 0，除非二者都是 1，这种情况下张量积是 1。如果它是 0，那么组合态射有两个选择：可以是 id_0，也可以是 0 -> 1。但如果它是 1，唯一选择是 id_1。把它翻译回关系，就是说如果 a <= b 且 b <= c，那么 a <= c，这正是需要的传递律。
恒等呢？它是从 1 到 C(a, a) 的态射。从 1 出发只有一个态射，那就是恒等 id_1，所以 C(a, a) 必须是 1。这意味着 a <= a，也就是预序的自反律。因此，如果把预序实现为富范畴，传递性和自反性都会被自动强制。
28.5 度量空间（Metric Spaces）
一个有趣例子来自 William Lawvere3。他注意到，度量空间可以用富范畴定义。度量空间定义任意两个对象之间的距离。这个距离是一个非负实数。把无穷大也包含为可能值会很方便。如果距离是无穷大，就没有办法从起始对象到达目标对象。
距离必须满足一些显然性质。其一是对象到自身的距离必须为零。另一个是三角不等式：直接距离不大于带中间停靠点的距离之和。我们不要求距离对称，这一开始可能显得怪异，但正如 Lawvere 解释的，可以想象一个方向是上坡，另一个方向是下坡。无论如何，对称性可以稍后作为额外约束施加。
那么，怎样把度量空间转换成范畴语言？必须构造一个 hom-object 是距离的范畴。请注意，距离不是态射，而是 hom-object。hom-object 怎么会是一个数？只有当我们能构造一个幺半范畴 V，其中这些数是对象。非负实数（加上无穷大）形成全序，因此可以看成薄范畴。两个这样的数 x 和 y 之间存在态射，当且仅当 x >= y（注意：这与传统预序定义中使用的方向相反）。幺半结构由加法给出，零作为单位对象。换句话说，两个数的张量积就是它们的和。
度量空间就是在这种幺半范畴上富化的范畴。从对象 a 到 b 的 hom-object C(a, b) 是一个非负数（也可能是无穷大），我们称它为从 a 到 b 的距离。来看看这样一个范畴中的恒等和组合会得到什么。
按我们的定义，从张量单位，也就是数字零，到 hom-object C(a, a) 的态射是关系：
0 >= C(a, a)
由于 C(a, a) 是非负数，这个条件告诉我们，从 a 到 a 的距离总是零。通过！
现在讨论组合。从两个相邻 hom-object 的张量积开始：C(b, c) tensor C(a, b)。我们已经把张量积定义为两个距离之和。组合是 V 中从这个积到 C(a, c) 的态射。V 中的态射定义为大于等于关系。换句话说，从 a 到 b 的距离与从 b 到 c 的距离之和，大于等于从 a 到 c 的距离。这正是标准三角不等式。通过！
通过把度量空间改写为富范畴，我们“免费”得到了三角不等式和自身距离为零。
28.6 富函子（Enriched Functors）
函子的定义涉及态射映射。在富化语境中，我们没有单个态射的概念，所以必须批量处理 hom-object。hom-object 是幺半范畴 V 中的对象，而我们可以使用它们之间的态射。因此，当两个范畴都在同一个幺半范畴 V 上富化时，定义它们之间的富函子是有意义的。随后就可以用 V 中的态射，在两个富范畴之间映射 hom-object。
两个范畴 C 与 D 之间的富函子 F，除了把对象映射到对象之外，还会为 C 中的每一对对象指派 V 中的一个态射：
F_ab :: C(a, b) -> D(F a, F b)
函子是保持结构的映射。对于普通函子，这意味着保持组合和恒等。在富化语境中，保持组合意味着下面的图交换：
C(b, c) tensor C(a, b) -> C(a, c)
| |
F_bc tensor F_ab F_ac
v v
D(F b, F c) tensor D(F a, F b) -> D(F a, F c)
保持恒等被替换为保持 V 中那些“选择”恒等的态射：
i -> C(a, a) -> D(F a, F a)
i -----------> D(F a, F a)
28.7 自富化（Self Enrichment）
闭对称幺半范畴可以通过用内部 hom 替换 hom-set 来实现自富化（见上面的定义）。为了让它工作，必须为内部 hom 定义组合律。换句话说，必须实现一个具有下面签名的态射：
[b, c] tensor [a, b] -> [a, c]
这与其他编程任务没太大区别，只是在范畴论中通常使用 point-free 的实现。我们先指定它应该作为元素所在的集合。在这个例子中，它是 hom-set 的一个成员：
V([b, c] tensor [a, b], [a, c])
这个 hom-set 同构于：
V(([b, c] tensor [a, b]) tensor a, c)
这里我使用了定义内部 hom [a, c] 的伴随。如果能在这个新集合中构造一个态射，伴随就会指向原集合中的态射，然后就可以把它用作组合。
我们通过组合若干已有态射来构造这个态射。首先，可以使用结合子 alpha_[b,c] [a,b] a 来重新结合左侧表达式：
([b, c] tensor [a, b]) tensor a -> [b, c] tensor ([a, b] tensor a)
随后接上伴随的余单位 epsilon_ab：
[b, c] tensor ([a, b] tensor a) -> [b, c] tensor b
再使用余单位 epsilon_bc 到达 c。于是构造出态射：
epsilon_bc . (id_[b,c] tensor epsilon_ab) . alpha_[b,c][a,b]a
它是下面 hom-set 的一个元素：
V(([b, c] tensor [a, b]) tensor a, c)
伴随会给出我们寻找的组合律。
类似地，恒等：
j_a :: i -> [a, a]
是下面 hom-set 的成员：
V(i, [a, a])
它通过伴随同构于：
V(i tensor a, a)
我们知道这个 hom-set 包含左恒等 lambda_a。可以把 j_a 定义为它在伴随下的像。
自富化的一个实际例子是 Set 范畴，它可作为编程语言中类型的原型。我们之前已经看到，相对于笛卡尔积，它是一个闭幺半范畴。在 Set 中，任意两个集合之间的 hom-set 本身也是一个集合，因此它是 Set 中的对象。我们知道它同构于指数集合，所以外部 hom 和内部 hom 等价。现在我们还知道，通过自富化，可以使用指数集合作为 hom-object，并用指数对象的笛卡尔积来表达组合。
28.8 与 2-范畴的关系（Relation to 2-Categories）
我在 Cat，也就是（小）范畴的范畴语境中谈过 2-范畴。范畴之间的态射是函子，但还有额外结构：函子之间的自然变换。在 2-范畴中，对象通常称为 0-cell；态射称为 1-cell；态射之间的态射称为 2-cell。在 Cat 中，0-cell 是范畴，1-cell 是函子，2-cell 是自然变换。
但请注意，两个范畴之间的函子也形成一个范畴。所以在 Cat 中，真正拥有的是 hom-category，而不是 hom-set。事实证明，正如 Set 可以看成在 Set 上富化的范畴，Cat 也可以看成在 Cat 上富化的范畴。更一般地说，正如每个范畴都可以看成在 Set 上富化，每个 2-范畴也可以看成在 Cat 上富化。