第 31 章：单子、幺半群与范畴（Monads, Monoids, and Categories）

原文：Bartosz Milewski, Category Theory for Programmers, Scala Edition, Chapter 31. 原书 PDF、.tex 源文件及相关图像采用 CC BY-SA 4.0；本译文按同一许可发布。

一本关于范畴论的书并没有什么真正合适的结尾。总还有更多东西要学。范畴论是一个庞大的主题。与此同时，很明显，相同的主题、概念和模式会一再出现。有一句说法是：所有概念都是 Kan 扩张；事实上，你确实可以用 Kan 扩张推出极限、余极限、伴随、单子、Yoneda 引理，以及更多东西。范畴这个概念本身会出现在所有抽象层级上，幺半群和单子也一样。哪一个最基本？事实证明，它们全都互相关联，一个引向另一个，形成永无止境的抽象循环。我决定，展示这些相互联系也许是结束本书的好方式。

31.1 双范畴（Bicategories）

范畴论最困难的方面之一，是视角的不断切换。以集合范畴为例。我们习惯于用元素定义集合。空集没有元素。单元素集合有一个元素。两个集合的笛卡尔积是由有序对组成的集合，如此等等。但在谈论 Set 范畴时，我要求你忘记集合的内容，转而关注它们之间的态射（箭头）。有时，你可以掀开盖子看一眼，看看 Set 中某个具体泛构造用元素语言描述时是什么样子。终对象原来是一个单元素集合，等等。但这些只是健全性检查。

函子定义为范畴之间的映射。把映射看成某个范畴中的态射是很自然的。函子原来是范畴的范畴中的态射（如果想避免大小问题，就说小范畴的范畴）。当我们把函子当作箭头时，就放弃了它作用于范畴内部（对象和态射）的信息，就像在 Set 中把函数当作箭头时，我们放弃了它作用于集合元素的信息一样。但任意两个范畴之间的函子本身也形成一个范畴。这一次，你被要求把某个范畴中的箭头看成另一个范畴中的对象。在函子范畴中，函子是对象，自然变换是态射。我们已经发现，同一个东西可以在一个范畴中是箭头，在另一个范畴中是对象。把对象朴素地看成名词、把箭头看成动词，这种看法并不成立。

与其在两种视角之间切换，不如尝试把它们合并成一种视角。这样就得到 2-范畴 的概念，其中对象称为 0-cell，态射称为 1-cell，态射之间的态射称为 2-cell。

范畴的范畴 Cat 是一个直接的例子。这里，范畴是 0-cell，函子是 1-cell，自然变换是 2-cell。2-范畴的定律告诉我们，任意两个 0-cell 之间的 1-cell 形成一个范畴（换句话说，C(a, b) 是 hom-category，而不是 hom-set）。这正好契合我们前面的断言：任意两个范畴之间的函子形成函子范畴。

特别地，从任意 0-cell 回到自身的 1-cell 也形成一个范畴，也就是 hom-category C(a, a)；但这个范畴还有更多结构。C(a, a) 的成员既可以看成 C 中的箭头，也可以看成 C(a, a) 中的对象。作为箭头，它们可以彼此组合。但当我们把它们看成对象时，组合就变成了一个从一对对象到一个对象的映射。事实上，它看起来非常像积，更准确地说，是张量积。这个张量积有一个单位：恒等 1-cell。事实证明，在任意 2-范畴中，hom-category C(a, a) 自动成为一个幺半范畴，其张量积定义为 1-cell 的组合。结合律和单位律直接来自相应的范畴定律。

我们来看看这在 2-范畴的典型例子 Cat 中意味着什么。hom-category Cat(a, a) 是 a 上自函子的范畴。自函子组合在其中扮演张量积的角色。恒等函子是这个积的单位。我们之前已经看到自函子形成幺半范畴（定义单子时就用到了这一事实），但现在我们看到，这是一个更一般的现象：任意 2-范畴中的 endo-1-cell 都形成幺半范畴。稍后在推广单子时，我们会回到这一点。

你可能还记得，在一般幺半范畴中，我们并没有坚持幺半群定律必须严格成立。单位律和结合律在同构意义下成立通常就足够了。在 2-范畴中，C(a, a) 中的幺半定律来自 1-cell 的组合律。这些定律是严格的，因此我们总会得到一个严格幺半范畴。不过，也可以放松这些定律。例如，我们可以说，恒等 1-cell id_a 与另一个 1-cell f :: a -> b 的组合，同构于 f，而不是等于 f。1-cell 的同构用 2-cell 定义。换句话说，存在一个 2-cell：

rho :: f . id_a -> f

并且它有逆。

左单位律和结合律也可以做同样处理。这种放松的 2-范畴称为双范畴（bicategory；这里我会省略一些额外的相干律）。

正如预期，双范畴中的 endo-1-cell 形成一个定律非严格的一般幺半范畴。

一个有趣的双范畴例子是 span 的范畴。两个对象 a 和 b 之间的一个 span，是一个对象 x 以及一对态射：

f :: x -> a
g :: x -> b

你可能还记得，我们在定义范畴积时用过 span。这里，我们希望把 span 看成双范畴中的 1-cell。第一步是定义 span 的组合。假设我们有一个相邻的 span：

f' :: y -> b
g' :: y -> c

组合会是第三个 span，带有某个顶点 z。对它来说，最自然的选择是沿 f' 对 g 做拉回。记住，拉回是对象 z，以及两个态射：

h  :: z -> x
h' :: z -> y

使得：

g . h = f' . h'

并且在所有这样的对象中是泛的。

现在，先把注意力放在集合范畴上的 span。在这种情况下，拉回只是笛卡尔积 x x y 中满足下面条件的有序对 (p, q) 的集合：

g p = f' q

两个端点相同的 span 之间的态射，定义为它们顶点之间的一个态射 h，并且相应的三角形交换。

总结一下，在双范畴 Span 中，0-cell 是集合，1-cell 是 span，2-cell 是 span 态射。恒等 1-cell 是退化 span，其中三个对象全都相同，两个态射都是恒等态射。

我们之前还见过另一个双范畴例子：profunctor 的双范畴 Prof，其中 0-cell 是范畴，1-cell 是 profunctor，2-cell 是自然变换。profunctor 的组合由余端给出。

31.2 单子（Monads）

到现在为止，你应该已经非常熟悉单子的定义：单子是自函子范畴中的幺半群。现在，让我们带着新的理解重看这个定义：自函子范畴只是双范畴 Cat 中 endo-1-cell 的一个小小 hom-category。我们知道它是一个幺半范畴：张量积来自自函子的组合。幺半群定义为幺半范畴中的一个对象，也就是这里的一个自函子 T，再配上两个态射。自函子之间的态射是自然变换。

一个态射把幺半单位，也就是恒等自函子，映射到 T：

eta :: I -> T

第二个态射把 T tensor T 的张量积映射到 T。张量积由自函子组合给出，所以得到：

mu :: T . T -> T

我们认出它们正是定义单子的两个操作（在 Haskell 中称为 return 和 join），并且知道幺半群律会变成单子律。

现在，让我们从这个定义中去掉所有关于自函子的说法。我们从一个双范畴 C 开始，并在其中选取一个 0-cell a。如前所见，hom-category C(a, a) 是一个幺半范畴。因此，可以通过选取一个 1-cell T 和两个 2-cell 来定义 C(a, a) 中的幺半群：

eta :: I -> T
mu  :: T . T -> T

并要求它们满足幺半群律。我们把这称为一个单子。

这是一个更加一般的单子定义，只使用 0-cell、1-cell 和 2-cell。当它应用到双范畴 Cat 时，就退化为通常意义上的单子。但让我们看看在其他双范畴中会发生什么。

我们在 Span 中构造一个单子。先选取一个 0-cell，也就是一个集合；出于马上会变得清楚的原因，我会把它称为 Ob。接着选取一个 endo-1-cell：一个从 Ob 回到 Ob 的 span。它的顶点处有一个集合，我会把它称为 Arr，并配备两个函数：

dom :: Arr -> Ob
cod :: Arr -> Ob

我们把集合 Arr 的元素称为“箭头”。如果我还告诉你把 Ob 的元素称为“对象”，你也许已经猜到这会走向哪里。两个函数 dom 和 cod 为一个“箭头”指定定义域和余定义域。

为了把这个 span 变成单子，需要两个 2-cell：eta 和 mu。在这个例子中，幺半单位是从 Ob 到 Ob 的平凡 span，其顶点是 Ob，两个函数都是恒等函数。2-cell eta 是顶点 Ob 和 Arr 之间的函数。换句话说，eta 为每个“对象”指派一个“箭头”。Span 中的 2-cell 必须满足交换条件；在这里就是：

dom . eta = id
cod . eta = id

按分量写就是：

dom (eta ob) = ob = cod (eta ob)

其中 ob 是 Ob 中的一个“对象”。换句话说，eta 为每个“对象”指派一个定义域和余定义域都是该“对象”的“箭头”。我们把这个特殊“箭头”称为“恒等箭头”。

第二个 2-cell mu 作用于 span Arr 与自身的组合。组合定义为拉回，因此它的元素是来自 Arr 的元素对，也就是“箭头”对 (a1, a2)。拉回条件是：

cod a1 = dom a2

我们说 a1 和 a2 是“可组合的”，因为其中一个的定义域是另一个的余定义域。

2-cell mu 是一个函数，它把一对可组合箭头 (a1, a2) 映射为来自 Arr 的单个箭头 a3。换句话说，mu 定义了箭头的组合。

很容易检查，单子律对应于箭头的恒等律和结合律。我们刚刚定义了一个范畴（请注意，是一个小范畴，其中对象和箭头都形成集合）。

所以，总而言之，范畴只是 span 双范畴中的单子。

这个结果令人惊讶之处在于，它把范畴和单子、幺半群等其他代数结构放到了同一层面上。成为范畴并没有什么特殊之处。它只是两个集合和四个函数。事实上，我们甚至不需要为对象准备一个单独的集合，因为对象可以用恒等箭头识别（它们一一对应）。所以它其实只是一个集合和几个函数。考虑到范畴论在整个数学中扮演的核心角色，这是一个非常令人谦卑的认识。

31.3 挑战（Challenges）

1. 推导在双范畴中以 endo-1-cell 的组合定义的张量积所满足的单位律和结合律。
2. 检查 Span 中单子的单子律对应于所得范畴中的恒等律和结合律。
3. 证明 Prof 中的单子是对象上恒等（identity-on-objects）的函子。
4. Span 中单子的单子代数是什么？

31.4 参考文献（Bibliography）

1. Paweł Sobociński 的博客：A Monoid is a Category, a Category is a Monad, a Monad is a Monoid.